Aufgabe 1 - Zahlendarstellungen

Aufgabenstellung

a) Festkommazahlen

Ergänzen Sie die nachfolgende Tabelle in der gegebenen Aufgabenstellung um die fehlenden Darstellungsformen für die vorzeichenbehafteten ganzen Zahlen A und –A mit einer Breite von zwei Byte durch ihre Hexadezimal- bzw. Dezimalzahlwerte (HEX bzw. DEZ). Der Offset bei der offsetbinären Darstellung beträgt 7FFFH.

	Dezimalzahl (DEZ)	Darstellung Vorzeichen Betrag (HEX)	Zweierkomplementdarstellung (HEX)	Offsetbinäre Darstellung (HEX)
A	18.311	…	…	…
–A	…	…	…	…

Stellen Sie Ihren Rechenweg bei der Ermittlung der fehlenden Werte ausführlich dar.

10 Pkt.

b) Gleitkommazahlen

Im Speicher eines Mikroprozessors befinden sich auf den Speicheradressen 0000H bis 0003H die vier Bytes einer Single-Precision-Gleitkommazahl nach IEEE754 entsprechend der nachfolgenden Tabelle. Die Bytes sind abweichend vom Studienheft TIM01 hier im Little-Endian-Format abgespeichert (hier niederwertigstes Byte auf niederwertigster Adresse!). Ermitteln Sie den Dezimalwert der abgespeicherten Gleitkommazahl. Legen Sie Ihren Berechnungsweg ausführlich dar.

Adresse	Byte	Belegung
0000H	B8H	m7 ... m0
0001H	DEH	m15 ... m8
0002H	6AH	e0, m22 ... m16
0003H	C3H	S, e7 ... e1

15 Pkt.

Σ 25 Pkt.

Lösung

a) Festkommazahlen

Die Tabelle lässt sich wie folgt vervollständigen:

	Dezimalzahl (DEZ)	Darstellung Vorzeichen Betrag (HEX)	Zweierkomplementdarstellung (HEX)	Offsetbinäre Darstellung (HEX)
A	18.311	4787H	4787H	0C786H
-A	-18.311	0C787H	0B879H	3878H

Tabelle 1.1: Darstellungen von A und -A bei einer Breite von 16 Bit (eigene Berechnung).

Umrechnung von A in eine Hexadezimalzahl

Zuerst wird der Dezimalwert 18.311 durch 16 geteilt. Die dabei entstehenden Reste bilden die einzelnen Hexadezimalstellen.

18.311 : 16 = 1.144 Rest 7
 1.144 : 16 =    71 Rest 8
    71 : 16 =     4 Rest 7
     4 : 16 =     0 Rest 4

Die Reste werden von unten nach oben gelesen. Damit ergibt sich:

18.311 (DEZ) = 4787H
             = 0100 0111 1000 0111 (BIN)

Darstellung mit Vorzeichen und Betrag

Bei einer Breite von 16 Bit wird das höchstwertige Bit als Vorzeichenbit verwendet. Eine 0 steht für eine positive Zahl und eine 1 für eine negative Zahl. Die übrigen 15 Bit enthalten den Betrag.

Der Betrag 18.311 wird in den unteren 15 Bit so dargestellt:

100 0111 1000 0111

Für A wird eine 0 als Vorzeichenbit ergänzt:

0 | 100 0111 1000 0111 = 0100 0111 1000 0111 = 4787H

Für -A wird das Vorzeichenbit auf 1 gesetzt:

1 | 100 0111 1000 0111 = 1100 0111 1000 0111 = 0C787H

Die führende 0 bei 0C787H gehört nicht zur Wortbreite. Sie macht nur deutlich, dass es sich bei dem mit C beginnenden Wert um eine Hexadezimalzahl handelt.

Zweierkomplementdarstellung

Da A positiv ist, bleibt die Darstellung unverändert:

A = 0100 0111 1000 0111 = 4787H

Für -A werden zuerst alle Bitstellen von A umgekehrt. Danach wird 1 addiert.

A:                    0100 0111 1000 0111
Bitstellen umkehren:  1011 1000 0111 1000 = 0B878H
1 addieren:           1011 1000 0111 1001 = 0B879H

Als Kontrolle kann der Wert auch von 2 hoch 16 abgezogen werden:

65.536 - 18.311 = 47.225 = 0B879H

Offsetbinäre Darstellung

Der vorgegebene Offset beträgt:

7FFFH = 32.767 (DEZ)

Für die offsetbinäre Darstellung wird der Offset zum jeweiligen Dezimalwert addiert.

Für A ergibt sich:

18.311 + 32.767 = 51.078 = 0C786H
4787H + 7FFFH = 0C786H

Für -A ergibt sich:

-18.311 + 32.767 = 14.456 = 3878H
7FFFH - 4787H = 3878H

b) Gleitkommazahlen

Zusammensetzen der vier Bytes

Da die Bytes im Little-Endian-Format gespeichert sind, steht das niederwertigste Byte an der kleinsten Adresse. Für das vollständige 32-Bit-Wort werden die Bytes deshalb in umgekehrter Reihenfolge zusammengesetzt.

Adresse	Hexadezimal	Binärdarstellung
0000H	B8H	1011 1000
0001H	DEH	1101 1110
0002H	6AH	0110 1010
0003H	C3H	1100 0011

Tabelle 1.2: Binärdarstellung der gespeicherten Bytes (eigene Berechnung).

Das zusammengesetzte 32-Bit-Wort lautet:

C36ADEB8H
1100 0011 0110 1010 1101 1110 1011 1000

Aufteilung der Bitfelder

Eine Single-Precision-Gleitkommazahl besteht aus einem Vorzeichenbit, acht Exponentenbits und 23 Mantissenbits.

1 | 1000 0110 | 110 1010 1101 1110 1011 1000
S | Exponent  | Mantisse

Das Vorzeichenbit ist 1. Die gespeicherte Zahl ist deshalb negativ.

Der gespeicherte Exponent lautet:

1000 0110 (BIN)
= 2^7 + 2^2 + 2^1
= 128 + 4 + 2
= 134 (DEZ)

Bei Single Precision beträgt der Bias 127. Der tatsächliche Exponent ist damit:

e = 134 - 127 = 7

Die 23 Mantissenbits lauten:

110 1010 1101 1110 1011 1000

Da es sich um eine normalisierte Zahl handelt, wird vor der Mantisse eine führende 1 ergänzt:

1,11010101101111010111000 (BIN)

Berechnung des Dezimalwerts

Mit dem Vorzeichenbit S = 1 und dem Exponenten e = 7 ergibt sich:

Z = (-1)^S · Mantisse · 2^e
Z = (-1)^1 · 1,11010101101111010111000 · 2^7

Durch die Multiplikation mit 2 hoch 7 wird das Binärkomma um sieben Stellen nach rechts verschoben:

Z = -1110 1010,1101 1110 1011 1000 (BIN)

Der ganzzahlige Anteil beträgt:

1110 1010 (BIN)
= 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^3 + 2^1
= 128 + 64 + 32 + 8 + 2
= 234

Beim Nachkommaanteil werden nur die gesetzten Bitstellen addiert:

2^-1 + 2^-2 + 2^-4 + 2^-5 + 2^-6 + 2^-7
+ 2^-9 + 2^-11 + 2^-12 + 2^-13
= 0,8699951171875

Mit dem negativen Vorzeichen ergibt sich der gesuchte Dezimalwert:

Z = -234,8699951171875